Сайт Льва Волкова
  
· Ближе других к экватору находится Сингапур.
 
      На главную  
 Личное
  Статьи
  Задачи 
 Ссылки
 АТ-531
www.levvol.ru    
 
Лев Волков личный сайт
Поиск по сайту:  

Презентация. "Двоичная арифметика"

Математика и MS Excel

Л.А.Волков 2007 г.

  Карты
Почта

Яндекс
 
Лев Волков личный сайт Лев Волков личный сайт
Untitled   Мои закладки на
 
Уроки TurboPascal
  
Читаем книжечки
Журнальный зал
---------------
Библиотека Мошкова
----------------
Эквадорская библиотека русскоязычных книг
----------------
Платная библиотека Литрес.ру
----------------
Книги для успешнах людей
----------------
Библиотека Альдебаран
----------------
ЖЗЛ
----------------
Библиотека lib-rar
----------------
BookArchive.ru
----------------
Новости науки и техники
----------------
Известия науки
----------------
Самоучители
----------------
Booknik.ru
----------------
Псевдология
----------------
Самая большая электронная библиотека рунета. Поиск книг и журналов




Untitled Календарь
Апрель 2017
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
1 2
3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30
Зодиак: Телец


Ответ


Наполеон в Египте

Леонард Эйлер (1707-1783)

В 2007 году исполнилось 300 лет со дня рождения Леонарда Эйлера – одного из величайших математиков, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих современных разделов математики.

Л. Эйлер был действительным членом Петербургской Академии наук, оказал большое влияние на развитие отечественной математической школы и в деле подготовки кадров ученых-математиков и педагогов в России.

Поражает своими размерами научное наследие ученого. При жизни им опуб­ликовано 530 книг и статей, а сейчас их известно уже более 800. Причем последние 12 лет своей жизни Эйлер тяжело болел, ослеп и, несмотря на тяжелый недуг, продолжал работать и творить.

Статистические подсчеты показывают, что Эйлер в среднем делал одно открытие в неделю. Трудно найти математическую проблему, которая не была бы затронута в произве­дениях Эйлера. Все математики последующих поколений так или иначе учи­лись у Эйлера, и недаром известный французский ученый П.С. Лаплас сказал: "Читайте Эйлера, он – учитель всех нас".

С именем Эйлера, является задача о трех домиках и трех колодцах.

Задача: Три соседа имеют три общих колодца. Можно ли провести непересекающиеся дорожки от каждого дома к каждому колодцу. Дорожки не могут проходить через колодцы и домики (рис.1).



Рис. 1. К задаче о домиках и колодцах.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой, доказанной Эйлером в 1752 году, которая является одной из основных в теории графов. Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру (1736 год), хотя термин «граф» впервые ввел в 1936 году венгерский математик Денеш Кениг. Графами были названы схемы, состоящие из точек и соединяющих эти точки отрезков прямых или кривых.

Теорема. Если многоугольник разбит на конечное число многоугольников так, что любые два многоугольника разбиения или не имеют общих точек, или имеют общие вершины, или имеют общие ребра, то имеет место равенство

      В - Р + Г = 1, (*)

где В - общее число вершин, Р - общее число ребер, Г - число многоугольников (граней).

Доказательство. Докажем, что равенство (*) не изменится, если в каком-нибудь многоугольнике данного разбиения провести диагональ (рис. 2, а).



(a)


(б)
Рис. 2.

Действитель­но, после проведения такой диагонали в новом разбиении будет В вершин, Р+1 ребер и количество многоугольников увеличится на единицу. Следовательно, имеем

     В - (Р + 1) + (Г+1) = В – Р + Г.

Пользуясь этим свойством, проведем диагонали, разбивающие входя­щие многоугольники на треугольники, и для полученного разбиения пока­жем выполнимость соотношения (*) (рис. 2, б).

Для этого будем последовательно убирать внешние ребра, уменьшая количество треугольников. При этом возможны два случая:

  1. для удаления треугольника ABC требуется снять два ребра, в на­шем случае AB и BC;
  2. для удаления треугольника MKN требуется снять одно ребро, в нашем случае MN.

В обоих случаях равенство (*) не изменится. Например, в первом случае после удаления треугольника граф будет состоять из В-1 вершин, Р-2 ребер и Г-1 многоугольника:

(В - 1) - (Р + 2) + (Г -1) = В – Р + Г.

Самостоятельно рассмотрите второй случай.

Таким образом, удаление одного треугольника не меняет равенства (*).

Продолжая этот процесс удаления треугольников, в конце концов мы придем к разбиению, состоящему из одного треугольника. Для такого разбиения В = 3, Р = 3, Г = 1 и, следовательно, B - Р + Г= 1.

Значит, равенство (*) имеет место и для исходного разбиения, откуда окончательно получаем, что для данного разбиения многоугольника справедливо соотношение (*).

Заметим, что соотношение Эйлера не зависит от формы многоугольников. Многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать или даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Соотношение Эйлера при этом не изменится.

Приступим теперь к решению задачи о трех домиках и трех колодцах.

Решение. Предположим, что это можно сделать. Отметим домики точками Д1, Д2, Д3, а колодцы - точками К1, К2, К3 (рис. 1). Каждую точку-домик соединим с каждой точкой-колодцем. Получим девять ребер, которые попарно не пересекаются.

Эти ребра образуют на плоскости многоугольник, разделенный на бо­лее мелкие многоугольники. Поэтому для этого разбиения должно выполняться соотношение Эйлера В - Р + Г= 1.

Добавим к рассматриваемым гра­ням еще одну - внешнюю часть плоскости по отношению к многоугольнику. Тогда соотношение Эйлера примет вид В - Р + Г = 2, причем В = 6 и Р = 9.

Следовательно, Г = 5. Каждая из пяти граней имеет по крайней мере четыре ребра, поскольку, по условию задачи, ни одна из дорожек не должна непосредственно соединять два дома или два колодца. Так как каждое ребро лежит ровно в двух гранях, то количество ребер должно быть не меньше (5•4)/2 = 10, что противоречит условию, по которому их число равно 9.

Полученное противоречие показывает, что ответ в задаче отрицателен - нельзя провести непересекающиеся дорожки от каждого домика к каждому колодцу.



Однако, все не так просто.

Прежде чем мы продолжим объяснение, стоит прояснить некоторые вопросы, чтобы понять, что такое нeориентирусмые пространства и как они связаны с измерением. И домики, и источники в нашей задаче являются двумерными. Чтобы лучше уяснить, что это означает, возьмем лист бумаги и нарисуем на нем асимметричный силуэт человека - господина Плоского, как показано на рисунке. Man

Важно отметить, что ни он сам, ни лист бумаги, на котором он нарисован, не имеют толщины. Они имеют только два измерения - ширину и высоту. В двумерном мире господина Плоского существуют верх и низ, а также правая и левая стороны, но не существует понятий "впереди" и "позади".

Здесь нам стоит на минуту забыть о нашем привилегированном положении в трехмерном мире. Например, силуэт госпожи Плоской никогда не сможет полностью наложиться на изображение господина Плоского, так как для этого ей потребуется покинуть двумерный мир и развернуться так, чтобы отобразиться симметрично самой себе. Можно представить, что господин и госпожа Плоские живут на бесконечной плоскости, подобно тому как мы живем в бесконечном трехмерном пространстве, и ничего не знают о другой стороне этой плоскости. Они даже не знают, существует ли она. Ограничим мир, в котором они живут.

Для этого вырежем полоску из бумаги и склеим ее концы так, чтобы получился ободок. Woman

Кое-что изменилось.

Теперь господин и госпожа Плоские живут в конечном мире с двумя четко определенными границами. Они могут переходить эти границы, если захотят. В остальном их мир не изменился, в нем по-прежнему существовуют верх и низ, право и лево. Теперь перевернем их мир в некотором смысле с ног на голову. И в этот раз многое серьезно изменится. (Будет удобнее, если вы будете рассматривать полоску бумаги на просвет.) Лента Мёбиуса

Вырежем из бумаги ленту и перед тем как склеивать ее концы, предварительно развернем один из них. Получится так называемая лента Мёбиуса. Господин Плоский будет по-прежнему жить в двумерном мире, но кое-что изменится. Раньше он мог свободно переходить с одной с тороны полоски бумаги на другую. Лента Мёбиуса

Теперь он не может этого сделать - в его мире осталась только одна сторона. Убедимся, что это и в самом деле так. Поставим отметку карандашом на одной из сторон. Затем проведем пальцем вдоль полоски бумаги, начиная с этой точки, и мы придем в ту же самую точку, ни разу не оторвав палец от бумаги.

Еще удивительнее то, что у всей ленты Мёбиуса только одна сторона. Бумажный ободок, который мы изготовили ранее, можно раскрасить двумя цветами, например, одну сторону красным цветом, а другую синим. Чтобы раскрасить ленту Мёбиуса целиком, будет достаточно краски одного. В этом нетрудно убедиться: возьмите фломастер и начните проводить линию на одной из сторон ленты Мёбиуса. Описав полный круг, линия вернется в исходную точку на той же стороне.

Однако самые удивительные изменения произойдут с ориентируемостью этого нового пространства. Это очень интересный эксперимент, и мы советуем вам выполнить его самим. Напомним, что господин и госпожа Плоские не имеют толщины. Вырежем фигурку господина Плоского из бумаги и нарисуем на ленте госпожу Плоскую.

Господин Плоский отправится на прогулку. Он будет идти вдоль ленты, пока снова не встретится со своей подругой. Удивительно, но теперь повязки на их руках и ногах будут одинаковы.

На обычном кольце из бумаги это было бы невозможно без перехода в третье измерение. Теперь для господина Плоского правая и левая стороны поменялись местами, что показано на рисунке.

Решение задачи

Задача о соединении трех домиков с тремя источниками, о которой мы говорили ранее, не имеет решения в обычном двумерном пространстве, но ее можно решить на ленте Мёбиуса. Лента Мёбиуса

Сначала покажем, как соединить первые два домика с двумя истточниками. Возьмем полоску бумаги и отметим на ней точки А, С, 1 и 3. Нарисуем две красные линии, которые будут выходить из точек А и 3, и две синие, которые будут выходить из точек 1 и С. Если мы склеим края полоски бумаги так, чтобы получилось кольцо, то совпадут концы красных и синих линий. Однако если мы повернем один из краев полоски так, чтобы получилась лента Мёбиуса, то заметим, что теперь будут совпадать линии одного цвета. Мы соединили домик А с источником 1 и домик В с источником 2, так что лини не пересекаются. В этом заключается решение задачи,



Источник: Теорема Эйлера

Назад

Сайт Льва Волкова

  levvol@mail.ru
Highslide JS
Ян Стен
Последний аргумент
в карточной игре
Ян Стен
Последний аргумент в карточной игре
Гемалдегалери. Берлин
Холст. Масло. 90 x 119 см.

Ян Хавикс Стен (Steen, Jan Haviksz) (ок. 1626–1679), голландский художник-жанрист, родился в Лейдене. Учился в Утрехте у Николаса Кнупфера, в Гааге у Яна ван Гойена и в Харлеме у Адриана ван Остаде. Вступил в гильдию живописцев в Лейдене в 1648. В 1654–1660 владел пивоварней в Делфте; в 1661–1669 жил в Харлеме, а с 1669 и до самой смерти держал таверну в Лейдене.

В картинах Стена воплотился его добродушный юмор, способность видеть смешное в человеческих отношениях. Более 500 приписываемых ему картин – сцены из повседневной жизни, в которых действие происходит в комнатах, на кухне или в таверне. Иногда Стен писал картины на библейские, мифологические и исторические сюжеты, но всегда интерпретировал их как тривиальные события реальной жизни. В его работах искусность композиционных построений и удачное цветовое решение сочетались со склонностью мастера к повествованию. Умер Ян Стен в Лейдене 3 февраля 1679.


YouTube


Татьяна Кабанова. Перебиты, поломаны крылья


Beatles: Michelle my Belle


Die Arbeiter von Wien


Джемма Халид: Птица


Marika Rökk: Frau meiner Träume (The Woman Of My Dreams)




Новости сайта
   14.02.2013   Добавили лекции С.Л.Островского "Основы Web программирования...
   04.02.2013   Новое решение задачи о трех домиках и трех источниках
   31.12.2010   Добавили статью Чем кошка отличается от собаки?
   30.12.2010   Добавили статью О решении задачи С1
   22.11.2010   Добавили олимпиадные задачи по информатике
>> Все новости
Отправка SMS

Персональный sms помощник
МТС смс
Билайн смс
Мегафон Москва смс
Сайт Льва Волкова

   GISMETEO.RU: погода в г. Москва
Sunrise_Sunset
 Cегодня 24.04.2017
 -------------------------
Восход Солнца     05:02
Заход   Солнца     19:54
Длительность дня 14:52
Для географических координат дома:
55°44'13.71"N;
37°40'49.83"E
GMT+ 3
Программа TB


<<-- -->>
До Нового года
РБК-Информер


cnn


 
   Яндекс.Новости



Кто не уважает прошлое, тот лишен будущего!


Яндекс цитирования хостинг от .masterhost
 

Сейчас на сайте: 3 человека
14 час 10 мин Понедельник 24 Апреля 2017 г.
C создания сайта прошло 3453 дня
   Web-Mastering & Web-Design: Волков Л.А.